diketahui f(x) merupakan fungsi berderajat 3 yang memenuhi limit f(x) dibagi x = 1,x mendekati 0 dan limit f(x) dibagi x-1 = 1,x mendekati 1. Tentukanlah rumus

Kelas: 11
Mapel: Matematika
Kategori: Limit
Kata kunci: limit, polinom, suku banyak
Kode: 11.2.7 (Kelas 11 Matematika Bab 7-Limit)

Diketahui f(x) merupakan fungsi berderajat 3 yang memenuhi
[tex] \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=1 [/tex]
[tex] \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}=1 [/tex]
Tentukanlah rumus fungsi f(x)

Pembahasan: 
[tex] \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=1 [/tex]
jika kita subtitusi langsung x=0 ke limit, maka penyebutnya=0 padahal nilai limit nya adalah 1, maka limit pasti merupakan bentuk 0/0 sehingga f(x) pasti habis dibagi x (agar pembilang atau penyebut bisa difaktorkan)

[tex] \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}=1 [/tex]
jika kita subtitusi langsung x=1 ke limit, maka penyebutnya=0 padahal nilai limit nya adalah 1, maka limit pasti merupakan bentuk 0/0 sehingga f(x) pasti habis dibagi x-1 (agar pembilang atau penyebut bisa difaktorkan)

f(x) berderajat 3, misalkan:
f(x)=ax³+bx²+cx+d=0

f(0)=a.0³+b.0²+c.0+d=0
d=0 ... (persamaan 1)

f(1)=a.1³+b.1²+c.1+d=0
a+b+c+d=0
a+b+c=0 ...(persamaan 2)

[tex] \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=1 [/tex]
[tex] \lim_{x \to 0} \frac{ax^{3}+bx^2+cx}{x}=1 \\ \lim_{x \to 0} \frac{x(ax^{2}+bx+c)}{x}=1 \\ \lim_{x \to 0} ax^{2}+bx+c=1 \\ a.0^{2}+b.0+c=1[/tex]
c=1 ... (persamaan 3)

[tex] \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}=1 [/tex]
[tex]\lim_{x \to 1} \frac{ax^{3}+bx^{2}+x}{x-1}=1 \\ (l'hopital) \\ \lim_{x \to 1} \frac{3ax^{2}+2bx+1}{1}=1 \\ 3a(1)^{2}+2b(1)+1=1 [/tex]
3a+2b+1=1
3a+2b=0 ...(persamaan 4)

subtitusi persamaan 3 ke persamaan 2:
a+b+c=0
a+b+1=0
a+b=-1 ...(persamaan 5)

eliminasi persamaan 4 dan persamaan 5:
3a+2b=0     (kedua ruas × 1)
a+b=-1        (kedua ruas × 2)

3a+2b=0
2a+2b=-2
________ -
a=2 ... (persamaan 6)

subtitusi persamaan 6 ke persamaan 5:
a+b=-1
2+b=-1
b=-1-2
b=-3

a=2
b=-3
c=1
d=0

maka f(x)=2x³-3x²+x


Semangat belajar!
Semoga membantu :)