tolong matematika tentang bab volume benda putar

kita dapat mencari volume benda putar tersebut dengan menggunakan metode cincin. karena diputar mengelilingi sumbu x, maka fungsinya akan merupakan fungsi x.

[tex]A(x)= \pi ((y_{out})^{2}-(y_{in})^{2})[/tex]        ......... pers. (1)

dengan [tex]y_{in}[/tex] adalah radius dalam cincin dan [tex]y_{out}[/tex] adalah radius luar cincin. sekarang kita cari keduanya.

untuk mencari radius luarnya, kita perhatikan bahwa perpotongan garisnya terdapat di titik [tex](x_{0},y_{0})=(0,4)[/tex] dan titik [tex](x,y)=(6,0)[/tex], maka persamaan garisnya adalah:

[tex]y_{out}=- \frac{2}{3}x+4 [/tex]        ......... pers. (2)

untuk mencari radius dalamnya, kita perhatikan bahwa perpotongan garisnya terdapat di titik [tex](x_{0},y_{0})=(0,2)[/tex] dan titik [tex](x,y)=(6,0)[/tex], maka persamaan garisnya adalah:

[tex]y_{in}=- \frac{1}{3}x+2 [/tex]        ......... pers. (3)

kemudian substitusikan pers. (2) dan (3) ke dalam pers. (1) maka didapatkan:

[tex]A(x)= \pi ( \frac{1}{3}x^{2}-4x+12) [/tex]        ......... pers. (4)

kemudian kita integralkan pers. (4) dalam domain [tex]1 \leq x \leq 2[/tex] untuk mencari volumenya, maka:

[tex]V= \pi \int\limits^2_1 {( \frac{1}{3}x^{2}-4x+12)} \, dx =6 \frac{7}{9} \pi [/tex]        ......... QED.

maka jawabannya adalah (D).